Vorlesungen Über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen

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ISBN-13:
9783642493799
Einband:
Book
Erscheinungsdatum:
01.01.1964
Seiten:
724
Autor:
Richard Courant
Gewicht:
1075 g
Format:
235x155x38 mm
Sprache:
Deutsch
Beschreibung:

Erster Abschnitt. Allgemeine Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen.- Erstes Kapitel. Die komplexen Zahlen.-
1. Begriff der komplexen Zahl.-
2. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen. Sätze über den absoluten Betrag.-
3. Konvergente Zahlenfolgen. Die Zahlenkugel.-
4. Häufungswerte unendlicher Zahlenmengen.-
5. Konvergenz der Reihen mit komplexen Gliedern.-
6. Komplexe Variable und Funktionen derselben.-
7. Gleichmäßige Konvergenz.- Zweites Kapitel. Die Potenzreihen.-
1. Konvergenzgebiet einer Potenzreihe.-
2. Bestimmung des Konvergenzradius.-
3. Das Rechnen mit Potenzreihen.-
4. Prinzip der Koeffizientenvergleichung.-
5. Ausdehnung der erhaltenen Sätze.-
6. Die Umbildungen einer Potenzreihe.-
7. Die Ableitungen einer Potenzreihe.-
8. Unmittelbare Fortsetzungen einer Potenzreihe.-
9. Laurentsche Reihen. Ein Hilfssatz über Potenzreihen.- Drittes Kapitel. Der Begriff der analytischen Funktion.-
1. Monogene Systeme von Potenzreihen.-
2. Definition der analytischen Funktion.-
3. Eindeutige Zweige einer analytischen Funktion.-
4. Beispiele.-
5. Die Elementarzweige und ihre singulären Punkte.-
6. Der Fundamentalsatz der Algebra.-
7. Singuläre Punkte einer analytischen Funktion.-
8. Die singulären Stellen der ganzen und der rationalen Funktionen.-
9. Einige allgemeine Sätze über analytische Funktionen.-
10. Der Weierstraßsche Summensatz.- Viertes Kapitel. Untersuchung einiger spezieller analytischer Funktionen.-
1. Die Exponentialfunktion.-
2. Die trigonometrischen Funktionen.-
3. Der Logarithmus.-
4. Die allgemeine Potenz.- Fünftes Kapitel. Die Integration analytischer Funktionen.-
1. Gleichmäßige Stetigkeit und Differenzierbarkeit analytischer Funktionen.-
2. Integration der Potenzreihen.-
3. Integration der Ableitung einer regulären Funktion.-
4. Beispiele.-
5. Integration regulärer Funktionen.-
6. Der Satz von Cauchy.-
7. Folgerungen aus dem Satz von Cauchy. Der Satz von Laurent.-
8. Die Resuiden der analytischen Funktionen.-
9. Bestimmung der Null-und Unendlichkeitsstellen einer Funktion.- Sechstes Kapitel. Die meromorphen Funktionen.-
1. Begriff der meromorphen Funktion.-
2. Die meromorphen Funktionen mit endlich vielen Polen.-
3. Die meromorphen Funktionen mit unendlich vielen Polen. Der Mittag-Lefflersche Satz.-
4. Allgemeiner Ausdruck einer meromorphen Funktion mit unendlich vielen Polen.-
5. Der Fall einfacher Pole.-
6. Beispiele.-
7. Cauchys Methode der Partialbruchzerlegung.-
8. Beispiele.-
9. Ganze Funktionen mit vorgeschriebenen Nullstellen.-
10. Darstellung der meromorphen Funktionen durch ganze Funktionen.-
11. Die Produktdarstellung der Gammafunktion.-
12. Die Integraldarstellung der Gammafunktion.- Siebentes Kapitel. Die Umkehrung der analytischen Funktionen.-
1. Umkehrung der Potenzreihen.-
2. Beispiele.- Zweiter Abschnitt. Elliptische Funktionen.- Erstes Kapitel. Die doppeltperiodischen meromorphen Funktionen.-
1. Zur geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen.-
2. Sätze über die Perioden einer meromorphen Funktion.-
3. Das Periodenparallelogramm.-
4. Definition der elliptischen Funktionen. Der Körper K.-
5. Allgemeine Sätze über die Funktionen f (u).-
6. Die Funktion ? (u).-
7. Die Differentialgleichung von ? (u).-
8. Das Additionstheorem von ? (u).-
9. Darstellung der elliptischen Funktionen durch die ?-Funktion.-
10. Weitere Eigenschaften der Funktionen f (u).-
11. Die Funktion ? (u).-
12. Darstellung der elliptischen Funktionen durch ? (w).-
13. Die Funktion ? (u).-
14. Darstellung der elliptischen Funktionen durch die Funktion ? (u).-
15. Die Funktionen ? (u), ? (u), ? (u) als Funktionen von u, ?l, ?2.- Tabellarische Übersicht zum 1. Kapitel.- Zweites Kapitel. Die Theta-Funktionen.-
1. Darstellung ganzer Funktionen mit einer gegebenen Periode.-
2. Bezeichnungen.-
3. Die Funktion ?1(v).-
4. Die Funktionen ?1(u), ?2(u), ?3(u).-
5. Die Funktionen ?2(v),?3(v),?0(v).-
6. Zusammenstellung.-
7
Vorwort zur dritten Auflage Auch in der dritten Auflage haben die von HURWITZ herriihrenden beiden erst en Abschnitte keine Anderungen erfahren, abgesehen von Verbesserungen und Erganzungen in Einzelheiten. Der dritte Abschnitt jedoch ist wiederum in vielen Punkten erweitert und umgestaltet worden. Es solI dadurch erreicht werden, daB er eine wirklich vollstandig un abhangig von den vorangehenden Abschnitten lesbare Darstellung der Funktionentheorie vom geometrischen Standpunkt aus gibt und auch den Zugang zu den neueren Spezialforschungen offnet. Eine kleine Ver mehrung des Umfanges war dabei nicht zu vermeiden. Gottingen, im Oktober 1929. R. COURANT. Vorwort zur vierten Auflage Seit dem Erscheinen der dritten Auflage ist die Theorie der Funk tionen einer komplexen Veranderlichen in mancher Hinsicht weiter ent wickelt worden, vielfach in der Richtung auf groBere Allgemeinheit und Abstraktion in der Form sowie in der Substanz. Als der Wunsch nach einer neuen Auflage von vielen Seiten ausgedriickt wurde, schien es un tunlich, einen veranderten Neudruck vorzulegen; das Problem entstand, wie den neueren Entwicklungen Rechnung getragen werden konnte, ohne den spezifischen Charakter des Werkes zu beeeintrachtigen.